欢迎来到百家号“米粉老师说数学”,有关二次函数压轴题的文章,是一系列讲义,我们会把二次函数与几何结合的各类题型变化与分析思路、解题方法、技巧,细细地梳理一遍,当你第一篇开始,坚持到最后一篇时,你一定会惊讶地发现,曾经困扰着你的二次函数中考压轴题,它就在你的脚下!

今天我们继续聊聊二次函数与特殊四边形形存在性问题之二:与菱形结合的存在性问题。

一.知识简介

1.知识层面

从几何角度分析,此类题型所涉及到菱形的性质、判定及分类讨论。就性质而言,最主要围绕四个性质展开运用:

①内部四个小直角三角形的关系;

②平行与四边相等的关系;

③对角线垂直平分的关系;

④菱形的两个面积公式。

就分类讨论而言,需掌握两种论证方法:代数论证方法和几何论证方法。

从函数角度分析,除了涉及到以上菱形的几何性质外,主要运用以下两点:

①利用“两直线平行K值相等”和“两对角线垂直K值负倒数”解决直线表达式问题;

②中点坐标公式解决点的坐标问题及两点间的距离公式解决线段长的问题。

2.思路层现

越熟悉以上所涉及的知识基础,更能让我们在解决二次函数与菱形结合的题型中,更快找到解题思路

二.范例精讲

例1.(不分类讨论). 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x*2 +bx+c的图像与x轴交于A、B、两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3),点P是直线BC下方抛物线上的动点。

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)连接PO、PC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形POP`C,那么是否存在点P,使得四边形POP`C为菱形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;

解析:(1)代入B、C两点坐标,便可得抛物线解析式为:y=x*2-2x-3.

(2)由折叠性质可知OP=OP`,CP=CP`,当四边形POP`C为菱形时,只需满足一个条件:PC=PO即可,利用菱形对角线垂直平分这一性质,易得出P点的纵坐标,进而可得出P点的坐标。

存在,连接PP`交OC于点E,

当四边形POP`C为菱形时,

PC=PO,PE⊥CO,

∵OC=3,

∴OE=EC=3/2,

∴P点的纵坐标为-3/2,

当x*2 -2x-3=-3/2时,

解得x=(2+√10)/2或/2(舍去),

∴存在点P(2+√10/2,-3/2),使得四边形POP`C为菱形。

例2.(代数论证方法)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,OB=OC=6,AB=10.

(1)求D点的坐标.

(2)若点M在平面直角坐标系内,则在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出F点的坐标,若不存在,请说明理由.

解析: (1)∵OB=6,AB=10,

∴OA=8,

∵AD=BC=6,∴D(12,8)

(2)代数论证方法(此题代数论证方法最快捷,不用考虑图形,以谁为菱形的对角线分三种情况讨论)

∵A(0,8),B(-6,0),∴直线AB的表达式为:y=4x/3+8,设F(m,4m/3+8),∵C(6,0)

例3.(几何论证方法)如图 ,抛物线 y = x*2+ bx + c 与 x 轴相交于 A, B 两点,与 y 轴相交于点 C ,已知抛物线的对称轴所在的直线是 x =9/4,点 B 的坐标为(4,0)。

(1)求抛物线的解析式;

(2)若 M为 x 轴上一动点,在抛物线上是否存在点 N ,使得点 B, C, M , N 构成的四边形是菱形, 若存在,求出 N 点的坐标;若不存在,请说明理由。

解析:(1)由对称轴及B点的坐标,

易得A点坐标为(0.5,0),

把A、B两点坐标代入,可得

抛物线的解析式为:y=x*2 -4.5x+2

(2)此小题由于B、M都在x轴上,即菱形的一条对角线或一条边在x轴上,运用菱形的几何性质显得更便捷,所以适合用几何论证方法。

①当BC为菱形的对角线时,如图2,

设BC的中点Q,作QM⊥BC交x轴于点M,

设OM=x,则CM=BM=4-x,

在直角三角形OCM中,

运用勾股定理可得M点的坐标为(1.5,0),

再利用CN//x轴及CN=BM可得

N的坐标为(2.5,0),

将N点坐标代入y=x*2 -4.5x+2,等式不成立,

即点N不在抛物线上,

∴这样的菱形不存在;

②当BM为菱形的对角线时,

由菱形性质可得N(0,-2),

如图3,易知N不在抛物线上,

故不存在这样的菱形;

③当CM为菱形的对角线时,

由菱形性质可得CN//x轴,

且CN=BC=2√5,

∴设N点的坐标为(2√5,2)或(-2√5,2),

代入y=x*2 -4.5x+2,等式不成立,

即点N不在抛物线上,

∴这样的菱形不存在;

综上所述,不存在这样的N点,使B,C,M,N为菱形。

三.思路回顾

从以上几道范例的思路详解及过程步骤详解反映出,当遇到二次函数与菱形存在性问题结合的题型时,处理办法与平行四边形的存在性问题高度相似,只要我们能从常见的菱形分类讨论方法和常见的计算方法入手思考,牢牢把握住二次函数几何综合题的“总体思路线”,就能做到代数论证方法与几何论证方法的有效结合,面对这类压轴题型也就会迎刃而解。

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